高手帮我解决一下这道数学题目吧

xundianchao

对于n阶的矩阵A，A^m=0,判断以下的命题的正确与否；要说明原因哦。
1.A的特征值只有一个零；
2.A必不能对角化
3.E+A+A^2+A^3+......+A^(m-1)可逆
4.A只有一个线性无关的特征向量。
谢谢啊！

duke638002

我只会做前三个。

1. A^m=0，设矩阵的特征值为λ，则λ^m= A^m=0，即λ^m=0。所以λ=0

2.λ=0，则λE-A=-A，则秩（-A）小于等与n-1，原因A^m=0，两边取行列是得A的行列式为0。
   不可逆则秩（-A）小于等与n-1，又A非零，秩（-A）大于等于1。所以特征向量的解向量最多有n-1个线性无关，所以不能相似于标准对角形。

3.令X=E+A+A^2+A^3+......+A^(m-1)，则两端同时左乘A得AX=A+A^2+A^3+......+A^(m-1)=X-E，
    所以AX=X-E，即（E-A）X=E，所以X可逆。命题三得证。
  
第四个我回去再想想:L

xundianchao

第四个命题是错的，别误会了

xundianchao

欢迎大家参与啊

[ 本帖最后由 xundianchao 于 2006-11-3 11:17 编辑 ]

xundianchao

最后那个举反例就可以了吧，m=2，随便举个就可以推倒它了

hosion

第四个用列向量的观点来解

sufeiyu

不明白　Ａ是全零阵呢

hosion

-_-||

只要存在就得证

duke638002

这个肯定不能为零啊，若是零矩阵，对角化有什么意思啊？？？每一个元都是0，没意思了。一般的对角化是指除主对角线上的元素不全为零，其他均为0。